현대사회에서 수학: 르네쌍스 예술복원에서 의료영상까지

 

연세대  서 진 근 교수

 

○ 현대사회에서의 수학

 수학은 철학과 함께 인간의 사고능력을 체계적으로 발전시켜서 인류 문명의 발전에 기여하여 왔다. 수학은 인류의 역사와 함께 사회적 필요에 의해 발전되기도 하고, 다른 한편으로는 사회적 필요와는 무관하게 개인 또는 집단의 사고 속에서 인위적으로 구성하여 ‘보이지 않는 문화’로서 발전하기도 하였다. 거리-공간의 개념은 수학적인 분석도구를 통해 진화하여 복잡한 현상 속에 내재해 있는 규칙 또는 패턴을 단순하게 표현하고 전체의 현상을 체계적으로 이해하는데  사용되었다. 자연현상을 분석하는 수학도구로서 전자기파의 이론과 현상을 설명하는 막스웰 방정식, 유체의 운동 또는 난류의 현상을 기술하는 네비어-스톡스방정식, 물체에 힘을 가할 때 변형되는 역학적인 특성을 설명하는 탄성방정식, 열 전도-확산을 설명하는 열전도 방정식 등이 있다. 이러한 미분 방정식은 에너지 또는 물리량의 보존의 법칙을 기반으로 하며, 계산하고자 하는 물리량의 시간과 공간에 관한 변화의 상호관계로부터 얻어지게 된다. 이러한 분석도구는 다양한 형태로 응용되어 지문감식, 음성인식, 데이터 압축, 의료영상에서의 단층촬영, 암호기술, 애니매이션, 금융시장에서 파생상품의 옵션의 가치의 평가등에 이르기까지 복잡 다양한 현대사회의 발전에 핵심적인 역할을 수행하기도 하였다.

 

 수학적 모델링은 얽혀있는 복잡한 현상을 사진같이 있는 그대로 모사하는 것이 아니라, 자연현상 속에 내재된 특징과 인과관계를 바탕으로 필수적인 요소를 추출하고 무시해야할 것과 고려해야할 것을 취사선택하여 well-posed (유일성, 안정성, 존재성을 갖춘) 수식을 세우는 것이다. 뉴톤이 발견한 “힘=질량×가속도”도 필수적인 변수와 불필요한 요소를 치밀하게 분석함으로서 유도된 것이다.  수리모델링의 과정을 간단히 설명하기 위해 지문인식을 살펴보자. 지문인식은 피부표면 밑층인 진피계층이 평생 변화하지 않으며, 동일한 진피계층을 가지고 있는 사람이 없다는 사실로부터 출발한다. 지문인식을 위해서는 두 지문이 비슷하다거나 아주 다르다는 것을 표현하는 거리의 개념이 필요하다. 개인의 지문영상 자체는 지문을 남긴 시점, 습도, 상황 등에 따라 계속 변함으로 지문간의 거리의 개념은 어떤 상황에서도 불변하는 특징의 차이로 정의해야한다. 즉, 같은 사람이 남긴 지문간의 거리는 0이 되게 하고, 서로 다른 사람의 지문간의 거리는 0이 되지 않도록 정의해야한다.  지문간의 거리를 정의하기 위해서는 지문 데이터베이스를 분석하여 특징 또는 패턴을 찾아내고, 이를 좌표축으로 설정해야한다. 집주소가 국가, 시, 구, 동, 번지등의 좌표축을 사용하여 표기되듯이, 지문도 특징과 패턴으로 표현된 좌표축으로 주소를 매길 수 있다.

 

  수학적 도구는 파손된 르네쌍스 시대 예술작품을 원래의 상태로 복원하는데도 활용할 수 있다. 파손된 이미지를 벡터 X, 잘 보존된 부분의 이미지를 벡터 B 라 두자. 파손된 영상 X를 매워주는 방식은 수식 AX=B 가 근사적으로 성립되게 하는 행렬 A를 개발하는 것이다. 가장 널리 쓰이는 행렬 A의 구조는 열전달방정식을 이용한 것인데, 영상의 강도를 온도로 보고 데이터 B의 온도분포를 파손된 영역으로 확산시켜 X의 영상을 매우는 방식이다.  수학은 애니메이션의 제작에도 관여하고 있다. 영화 슈렉의 제작에서 가장 어려운 일은 우유를 따르는 장면을 애니메이션으로 구현하는 것이었다고 한다. 사실적인 표현을 위해서 유체의 흐름을 지배하는 미분방정식, 컵 표면의 제한 조건, 물을 따르는 동안 유체량의 보존등 핵심요소를 엄밀하게 고려하여 사실적인 애니메이션을 구현하게 되었다.

 

○ 수학을 통한 생체조직의 물리적(전자기적, 기계적, 광학적)특징 영상화

 

   최근 수학은 의료영상분야에 적극적으로 참여하고 있다. 이는 인구의 고령화와 더불어 의료경제는 급격히 성장하였기 때문이다.  X-ray, CT(computerized tomography), MRI(Magnetic Resonance Imaging), 초음파, PET(Positron Emission Tomography) 등 각종 의료 영상기술은 인체 내부 구조를 가시화하여 질병의 진단과 치료에 획기적인 발전을 이룩했다. 최근에는 기존의 영상기술로는 얻을 수 없는 생체조직의 전기적, 광학적, 기계적 물성의 영상화가 의료계의 생리학적 연구와 관련되어 중요한 연구대상이 되었고,  이에 따라 수많은 과학자들은 새로운 진단정보를 출력하는 기능영상분야의 연구에 참여하게 되었다.

 

  생체조직의 물리적(전자기적, 광학적, 기계적) 특성의 영상화를 위해서는 인체에 적절한 물리량을 인가한 뒤, 인가한 물리량이 인체내부의 해당 물성에 의해 변조되는 현상을 측정하고, 이렇게 측정한 데이터로부터 인체내부의 물성을 영상의 형태로 추출하는 방법이 사용된다.  여기에는 인가한 물리량과 물성에 관한 물리적 현상에 대한 수학적인 해석 및 모델링에 해당하는 순문제(forward problem)와 측정한 데이터로부터 내부 물성의 분포를 영상으로 복원하는 역문제(inverse problem)의 해를 구하는 기술이 사용된다.

 

생체 영상기술은 초기 진입 장벽이 높고, 국내의 연구진이 원천기술을 보유하고 있는 경우가 거의 없다.  기존의 의료 영상시스템에 비해 훨씬 복잡한 구조를 가지고 있고, 수학-의학-공학기반의 다학제적 융복합기술이 필요하여 초기 진입장벽이 매우 높은 학문에 속한다. 영상화 알고리즘 개발을 연구를 위해선 수학에서의 편미분방정식, 조화해석, 함수해석, 수치해석, 과학계산에 대한 깊이 있는 이해뿐만 아니라 생체전자기학, MR 물리 등의 의공학적인 지식과 잡음을 효과적으로 처리하는 영상처리 기술이 필요하다.  이분야는 과학계의 거장들도 초기에는 여러 분야의 지식을 상호연계하는 능력이 부족해 비현실적인 가정을 설정하기거나, 핵심사항을 가볍게 처리하여 실현 불가능한 이론을 전개하기도 함으로,  기초이론은 해석-수치시뮬레이션-실험등의 검증시스템을 통해 끊임없이 수정 보완해야한다.

 

                                                                                                              2009년 5월 1일   서진근